Forcé, non forcé… : au fait, que sont les équations Navier-Stokes et pourquoi OpenAI n’a pas tout réglé ?

Les équations de Navier-Stokes sont des formules mathématiques qui décrivent le mouvement des fluides, qu’ils soient liquides ou gazeux. Elles permettent de modéliser des phénomènes du quotidien comme l’écoulement de l’eau d’un robinet, le déplacement de l’air autour d’une aile d’avion ou encore la formation des nuages. Ces équations ont été développées au XIXe siècle par le mathématicien français Henri Navier et le physicien britannique George Gabriel Stokes. Leur importance est telle qu’elles figurent parmi les sept problèmes du prix du millénaire, une liste établie en 2000 par l’Institut de mathématiques Clay, récompensant une solution à un million de dollars. Leur complexité est souvent soulignée : le magazine Quanta Magazine les qualifie même d’équations les plus coriaces de la physique.

Le cœur du problème réside dans la capacité des équations à prédire le comportement des fluides, notamment en présence de turbulence. Les mathématiciens craignent un scénario extrême : une particule de fluide pourrait théoriquement atteindre une vitesse infinie en un temps fini, un phénomène appelé singularité. Ce dérapage mathématique signifierait que les équations ne décrivent plus correctement la réalité physique, car aucun fluide ne se déplace à une vitesse infinie. L’Institut Clay a donc inclus dans ses problèmes du millénaire la question de l’existence et de la régularité des solutions, c’est-à-dire la capacité des équations à éviter ces singularités. Ce défi reste non résolu à ce jour.

Les équations de Navier-Stokes se déclinent en quatre versions (A, B, C, D) selon qu’elles intègrent ou non une force extérieure. Deux versions (A et B) concernent un fluide isolé, sans intervention externe, et demandent de prouver qu’il reste stable indéfiniment. Les deux autres (C et D) autorisent l’application d’une force externe et s’interrogent sur la possibilité d’une singularité dans ce cas. OpenAI a annoncé, le 8 septembre 2026, avoir résolu les versions C et D en démontrant qu’un fluide initialement calme peut développer une singularité en un temps fini sous l’effet d’une force régulière et bornée. Cette nuance est essentielle : sans force externe, le problème reste entier.

OpenAI explique que la singularité se forme via un vortex, un tourbillon de fluide qui s’enroule vers l’intérieur tout en s’allongeant, comme des spaghettis. Au centre de ce vortex, la région se rétrécit et accélère, provoquant une explosion de vitesse. Cependant, l’énergie globale du système reste finie, conformément aux lois de la physique. Ce mécanisme illustre comment une force externe, appliquée de manière contrôlée, peut déclencher une singularité sans violer les contraintes physiques. La démonstration repose sur un formalisme mathématique validé par le logiciel Lean, mais elle ne concerne que les versions forcées des équations.

OpenAI revendique avoir apporté une preuve analytique pour les versions C et D des équations de Navier-Stokes, mais précise que cette avancée ne résout pas le problème fondamental des versions non forcées (A et B). L’entreprise indique ne pas prétendre au million de dollars du prix du millénaire, probablement en raison des contraintes liées à cette récompense. La communauté mathématique doit encore valider cette preuve, bien que son formalisme ait été vérifié par un outil automatisé. Par ailleurs, l’annonce d’OpenAI a suscité une controverse, avec des accusations de récupération d’une avancée attribuée à un chercheur indépendant et à Anthropic.