Même un ordinateur échoue à vérifier la démonstration de la conjecture abc, l'un des plus grands mystères des mathématiques

La conjecture abc est l’un des problèmes non résolus les plus célèbres des mathématiques modernes. Proposée en 1985 par les mathématiciens Joseph Oesterlé et David Masser, elle concerne les relations entre trois nombres entiers notés a, b et c, liés par l’équation a + b = c. L’idée centrale est que si a et b n’ont pas de facteurs premiers communs (on dit qu’ils sont premiers entre eux), alors les propriétés de c sont fortement influencées par celles de a et b. Plus précisément, la conjecture suggère que pour la plupart des cas, c ne peut pas avoir trop de facteurs premiers distincts, sauf si a et b sont eux-mêmes très petits. Ce problème, bien que simple à énoncer, résiste depuis des décennies à toutes les tentatives de démonstration rigoureuse, malgré son importance pour d’autres domaines des mathématiques comme la théorie des nombres ou la cryptographie.

En 2012, le mathématicien japonais Shinichi Mochizuki a publié une démonstration de la conjecture abc sur son site personnel, sans passer par le processus traditionnel de relecture par les pairs (peer review). Cette méthode inhabituelle a suscité des débats dans la communauté scientifique, certains experts saluant l’audace de l’approche, d’autres critiquant l’absence de validation externe. Depuis, malgré des efforts internationaux pour analyser son travail, personne n’a réussi à confirmer ou infirmer sa démonstration de manière définitive. Les outils mathématiques utilisés par Mochizuki, notamment sa théorie des interuniversels, sont si complexes et novateurs qu’ils échappent encore à la compréhension de la majorité des chercheurs, rendant toute vérification autonome quasi impossible.

Pour tenter de trancher la question, des équipes de chercheurs ont tenté d’utiliser des ordinateurs pour vérifier les étapes de la démonstration de Mochizuki. En 2026, après des années d’efforts, ces tentatives ont échoué. Les calculs nécessaires pour valider ou invalider la preuve sont d’une telle ampleur qu’aucun supercalculateur actuel ne parvient à les mener à bien dans un délai raisonnable. Par exemple, certains algorithmes nécessiteraient des années de calcul continu sur des machines parmi les plus puissantes au monde. Cette impasse illustre les limites actuelles de l’informatique face à des problèmes mathématiques d’une complexité extrême, même pour des outils conçus pour traiter des milliards d’opérations par seconde.

La conjecture abc n’est pas qu’un exercice théorique : elle a des répercussions profondes sur d’autres branches des mathématiques. Si elle était prouvée, elle permettrait de résoudre de nombreux problèmes ouverts, comme la conjecture de Fermat (déjà démontrée par Andrew Wiles en 1994, mais avec des méthodes différentes) ou des questions liées à la distribution des nombres premiers. Elle offrirait aussi des outils pour améliorer la sécurité des systèmes cryptographiques modernes, qui reposent en partie sur la difficulté à factoriser de grands nombres. Son importance est telle que l’Institut Clay de mathématiques a inclus une version de cette conjecture parmi ses problèmes du prix du millénaire, offrant un million de dollars à qui en trouverait une démonstration complète et validée.